今天我们来探讨一个看起来很简单，实际上却蕴含着深刻的数学底层逻辑的问题。
为什么负负得正？
很多朋友会说，这个问题不是很显然的吗？还需要去证明吗？
这当然需要严格证明！
我在前面的文章中曾详细介绍过利用皮亚诺公理严格证明“1+1=2”的问题，有兴趣的朋友可以前往我的主页进行翻看。
前面的文章中已经详细介绍过皮亚诺公理，这里简单说一下重点。
皮亚诺公理：
①0是自然数；
②自然数a的后继数记为a′；
③0不是任何自然数的后继数；
④不同的自然数有不同的后继数；
⑤归纳公理（保证数学归纳法的正确性）。
皮亚诺公理
加法的定义：
①任意m∈N，0+m=m；
②任意m，n∈N，n′+m=(n+m)′。
利用皮亚诺公理和加法的定义，即可严格证明“1+1=2”。
证明：定义0'=1，1'=2
1+1=0'+1=(0+1)'=1'=2，证毕！
进一步我们还可以证明加法结合律和加法交换律。
①加法结合律：任意a，b，c∈N
(a+b)+c=a+(b+c)；
②加法交换律：任意m，n∈N
m+n=n+m。
乘法的定义：
①任意m∈N，m×0=0；
②任意m，n∈N
m×n'=m×n+m。
进一步我们还可以证明乘法分配律、乘法结合律和乘法交换律。
①乘法分配律：任意a，b，c∈N
a×(b+c)=a×b+a×c；
②乘法结合律：任意a，b，c∈N
(a×b)×c=a×(b×c)；
③乘法交换律：任意m，n∈N
m×n=n×m。
再进一步，我们就可以定义减法和除法。
①自然数a的相反数记为-a；
②任意a，b∈N，a-b=a+(-b)；
③非零自然数a的倒数记为1/a；
④任意a，b∈N，b≠0
a÷b=a×(1/b)。
至此，我们的加减乘除四则运算，就完善地建立起来了。
进一步可证：任意a，b，c，d∈N
(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d
(a-b)×(c-d)=a×c-a×d-b×c+b×d
好了，现在我们可以来解决标题中提到的问题了。
为什么负负得正？
证明：首先有-1=0+(-1)=0-1
(-1)×(-1)
=(0-1)×(0-1)
=0×0-0×1-1×0+1×1
=0-0-0+1=1
(-1)×(-1)=1，证毕！
很多朋友会认为把这么简单的一个问题讲得如此复杂，完全是没事找事。但实际上，这种层层递进地严密推理是很有必要的，整个数学大厦就是这样一步步建立起来的。正如我们所学的所有几何性质都是从欧几里得在《几何原本》中提出的五大公设推导出来的。
