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78.如图1，直线y=mx＋3m与x轴相交于A点，与抛物线y=1/4 x^2＋1相交于点B，C。
（1）若m=1，求B，C的坐标；
（2）分别过B，C作x轴的垂线，垂足为D，E，求AD×AE的值；
（3）如图2，将抛物线y=1/4 x^2＋1沿直线y=kx＋1（k＞1）向上移动过程中，则抛物线在水平方向向右平移t（t＞0）个单位。平移后所得抛物线与y轴相交于点H，直线y=kx＋1与平移后所得的抛物线相交于I，J，求：
①抛物线y=1/4 x^2＋1沿直线y=kx＋1移动的距离；
②当HJ∥x轴时，k，t之间的函数关系。
图1
图2
图3
（1）联立y=x＋3与y=1/4x^2＋1，求交点；
（2）韦达定理求线段积，更简洁；
（3）理解抛物线沿直线平移的含义，即发现顶点在直线上，只看顶点如何平移即可；
抛物线移动的距离，也只需考虑顶点移动的距离；HJ∥x轴，只需两点纵坐标相等即可。
（1）若m=1，则联立y=x＋3与y=1/4x^2＋1解得x=－2，y=1；x=4，y=7
直线与抛物线的交点B（－2,1），C（4，7）.
（2）直线y=mx＋3m与x轴相交于A点（－3，0），
联立y=mx＋3m与 y=1/4 x^2＋1整理得x^2－4mx＋4－12m=0
则xB，xC是方程的两根，xB＋xC=4m，xB×xC=4－12m
AD=xB＋1，AE= xC＋1
AD×AE=（xB＋3）×（xC＋3）= xB×xC＋3（xB＋xC）＋9=4－12m＋12m＋9=13
（3）原抛物线y=1/4 x^2＋1的顶点P（0，1），在直线y=kx＋1上。
①抛物线y=1/4 x^2＋1沿直线y=kx＋1向上平移，即顶点I0（0，1）平移到I（t，kt＋1），
平移后得到抛物线y=1/4（ x－t）^2＋kt＋1，此时抛物线移动的距离即I0I，
由勾股定理I0I=√（ t^2＋（kt）^2）= t√（1＋k^2）
②抛物线y=1/4（ x－t）^2＋kt＋1与y轴相交于点H，
令x=0，得yH=1/4t^2＋kt＋1
直线y=kx＋1与平移后所得的抛物线y=1/4（ x－t）^2＋kt＋1相交于I，J，
联立y=kx＋1与y=1/4（ x－t）^2＋kt＋1，整理得
x^2－（2t＋4k）x＋t^2＋4kt=0
则xI，xJ是方程的两根，其中xI=t，所以t＋xJ=2t＋4k，xJ=t＋4k
则yJ=4k^2＋kt＋1
当HJ∥x轴时＝＞yH=yJ＝＞1/4t^2＋kt＋1=4k^2＋kt＋1
＝＞t^2=16k^2且k＞1，t＞0＝＞t=4k
1.直线与抛物线交点求法：联立解析式，解方程组；
2.直线与抛物线交点的情况转化为一元二次方程解的情况；
3.直线与抛物线交点交点的（横）坐标，转化为韦达定理；
4.抛物线沿直线移动的距离转化为顶点移动的距离；
5. HJ∥x轴转化为两点的纵坐标相等，即yH=yJ.
