数学世界充满了无法触及的角落，那里存在着许许多多无法解决的问题。现在，又一个角落被照亮了。
1900 年，著名数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert）公布了一份清单，其中包含 23 个关键问题，并希望以此指导下个世纪的数学研究。他的问题不仅为数学领域提供了路线图，还反映了一个更雄心勃勃的愿景 —— 建立一个坚实的基础，使得所有数学真理都可以基于此推理出来。
这个愿景很宏大，而其中的一大关键是假定数学是「完备的（complete）」。也就是说，所有数学陈述都应该可以被证明为真或假。
1930 年代，库尔特・哥德尔（Kurt Gödel）证明这是不可能的：在任何数学系统中，都有既不能证明也不能证伪的陈述。几年后，艾伦・图灵（Alan Turing）等人基于他的工作，表明数学充斥着「不可判定（undecidable）」的陈述——即任何计算机算法都无法解决的问题。
这些结果表明，证明和计算的能力存在一些根本性限制。有些数学根本无法被人知晓。
希尔伯特的梦想破灭了。但它的碎片依旧继续存在着。他曾提出的那些问题仍会让人想起他的愿景，使「完备数学」的理念可在更狭窄的语境下生存。
在这些问题中，第十问题是最主要的一个，其与丢番图方程（又称不定方程）有关。丢番图方程是指有整数系数的多项式，例如x²+y²=5。我们很熟悉这些方程，而它们也是数学领域最核心的研究对象之一。几千年来，数学家一直在寻找它们的整数解。例如，在这个例子中，一个解是x=1，y=2（因为1²+2²=5）。另一个是x=2，y=−1。
大卫・希尔伯特
x²+y²=3等许多丢番图方程却可能没有任何整数解。希尔伯特的第十问题是：是否总是可以判断给定的丢番图方程是否有整数解。
是否存在一种算法可以确定每个方程的解，还是说这个问题是不可判定的？也许不可能为所有数学问题找到一种完备而系统的求解方法 —— 甚至不可能解决希尔伯特的所有 23 个问题 —— 但对于丢番图方程，可能仍然存在一种求解方法，作为希尔伯特理想的一个微缩版本。乌得勒支大学的 Peter Koymans 说：「这个问题是那个梦想的一个非常自然的版本。」
1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄罗斯数学家打破了这个梦想。他的研究表明，并不存在一种可以确定任何给定的丢番图方程是否有整数解的通用算法——希尔伯特第十问题是一个不可判定的问题。你也许能够构想出一种可以评估大多数方程的算法，但它无法适用于每一个方程。即使在这种最简单的数学中，也隐藏着不可知性。
Yuri Matiyasevich，摄于 1969 年
数学家们想检验Matiyasevich的结论的适用范围。比如如果允许丢番图方程有复数解（可以用实部和虚部写出的数字，并且不限于整数）呢？在这种情况下，每个丢番图方程都有一个解，而希尔伯特第十问题的答案是肯定的。但是，在解必须是整数的方程和解可以是复数的方程之间，丢番图方程还存在很广的范围。
「对于整数，它是不可求解的，然后当传递给更大的数字系统时，可能会突然获得可解性。」哈佛大学的 Barry Mazur 说。「但这个转折点在哪里？」
自希尔伯特第十问题被解决以来的 50 年里，数学家们一直在寻找这个转折点。现在，Koymans 和他的长期合作伙伴、蒙特利尔康考迪亚大学的 Carlo Pagano 以及另一组独立研究的团队朝着这一目标迈出了重要一步。
这两个小组都证明，对于整数之外的大量重要数集，同样不存在可确定任意给定的丢番图方程是否有解的通用算法。
这两项工作不仅让数学家能够更精确地了解他们能知道什么和不能知道什么，还让他们对数学中最核心的对象之一有了全新的控制水平。
